Induksi matematika merupakan salah satu metode pembuktian yang digunakan untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan benar untuk semua bilangan asli. Materi ini banyak dipelajari di jenjang SMA, khususnya pada kelas 11 dan kelas 12, karena menjadi dasar dalam memahami pembuktian matematika yang lebih kompleks. Penguasaan konsep induksi matematika juga sering diujikan dalam ulangan harian, PAS, hingga berbagai seleksi masuk perguruan tinggi.
Dalam menyelesaikan soal induksi matematika, terdapat dua langkah utama yang harus dilakukan, yaitu membuktikan bahwa pernyataan benar untuk nilai awal (basis induksi) dan menunjukkan bahwa jika pernyataan benar untuk suatu bilangan nnn, maka pernyataan tersebut juga benar untuk n+1n+1 (langkah induksi). Kedua tahapan ini harus dilakukan secara runtut agar pembuktian dinyatakan valid.
Artikel ini menyajikan contoh soal induksi matematika lengkap dengan jawaban dan pembahasan yang disusun secara orisinal dengan tingkat kesulitan campuran. Soal-soal berikut dapat digunakan sebagai bahan latihan untuk memperdalam pemahaman konsep sekaligus meningkatkan kemampuan dalam menyusun pembuktian matematika secara sistematis.
Contoh Soal Induksi Matematika: Jawaban, Pembahasan, dan Langkah Penyelesaiannya
Soal Nomor 1
Pertanyaan
Buktikan dengan metode induksi matematika bahwa:
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) / 2
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Pernyataan benar.
B. Pernyataan salah.
C. Hanya benar untuk n genap.
D. Hanya benar untuk n ganjil.
E. Tidak dapat dibuktikan.
Jawaban Benar
A. Pernyataan benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
Ruas kiri = 1
Ruas kanan = 1(1 + 1) / 2 = 1
Kedua ruas bernilai sama, sehingga pernyataan benar untuk n = 1.
Langkah induksi
Misalkan pernyataan benar untuk n = k, yaitu:
1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1) / 2
Akan dibuktikan bahwa pernyataan juga benar untuk n = k + 1.
Ruas kiri menjadi:
1 + 2 + ... + k + (k + 1)
Gunakan hipotesis induksi:
= k(k + 1) / 2 + (k + 1)
= (k + 1)(k / 2 + 1)
= (k + 1)(k + 2) / 2
Hasil tersebut sama dengan rumus untuk n = k + 1, sehingga pernyataan terbukti benar untuk semua bilangan asli.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan rumus jumlah bilangan asli menggunakan induksi matematika.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menerapkan langkah basis dan langkah induksi pada pembuktian deret.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
8 menit
Soal Nomor 2
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
2^n ≥ n + 1
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n > 5.
D. Hanya berlaku untuk n genap.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
2¹ = 2
1 + 1 = 2
Pernyataan benar.
Langkah induksi
Misalkan:
2^k ≥ k + 1
Untuk n = k + 1:
2^(k + 1) = 2 × 2^k
Karena 2^k ≥ k + 1, maka:
2^(k + 1) ≥ 2(k + 1)
Karena:
2(k + 1) ≥ k + 2
maka diperoleh:
2^(k + 1) ≥ (k + 1) + 1
Dengan demikian, pernyataan terbukti benar untuk semua bilangan asli.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan pertidaksamaan menggunakan induksi matematika.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menggunakan hipotesis induksi pada pembuktian pertidaksamaan.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
8 menit
Soal Nomor 3
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
3^n − 1 selalu habis dibagi 2
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n ganjil.
D. Hanya berlaku untuk n genap.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
3¹ − 1 = 2
Bilangan tersebut habis dibagi 2.
Langkah induksi
Misalkan:
3^k − 1 habis dibagi 2.
Untuk n = k + 1:
3^(k + 1) − 1
= 3 × 3^k − 1
= 3(3^k − 1) + 2
Karena 3^k − 1 habis dibagi 2 dan angka 2 juga habis dibagi 2, maka seluruh bentuk tersebut juga habis dibagi 2.
Jadi, pernyataan terbukti benar.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan sifat keterbagian menggunakan induksi matematika.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menerapkan langkah induksi pada soal keterbagian.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
8 menit
Soal Nomor 4
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
5^n − 1 selalu habis dibagi 4
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n > 1.
D. Hanya berlaku untuk n genap.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
5¹ − 1 = 4
Bilangan tersebut habis dibagi 4.
Langkah induksi
Misalkan:
5^k − 1 habis dibagi 4.
Untuk n = k + 1:
5^(k + 1) − 1
= 5 × 5^k − 1
= 5(5^k − 1) + 4
Karena 5^k − 1 habis dibagi 4 dan angka 4 juga habis dibagi 4, maka bentuk tersebut juga habis dibagi 4.
Dengan demikian, pernyataan terbukti benar.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan sifat keterbagian dengan metode induksi.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menerapkan hipotesis induksi dalam pembuktian.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
8 menit
Soal Nomor 5
Pertanyaan
Buktikan dengan induksi matematika bahwa:
1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n²
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Pernyataan benar.
B. Pernyataan salah.
C. Hanya berlaku untuk n ganjil.
D. Hanya berlaku untuk n genap.
E. Tidak dapat dibuktikan.
Jawaban Benar
A. Pernyataan benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
Ruas kiri = 1
Ruas kanan = 1² = 1
Pernyataan benar.
Langkah induksi
Misalkan:
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) = k²
Untuk n = k + 1:
k² + (2k + 1)
= k² + 2k + 1
= (k + 1)²
Hasil tersebut sama dengan bentuk yang ingin dibuktikan, sehingga rumus berlaku untuk n = k + 1.
Dengan demikian,
1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n²
terbukti benar untuk semua bilangan asli.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan rumus deret menggunakan induksi matematika.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menerapkan metode induksi matematika pada pembuktian deret.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
8 menit
Soal Nomor 6
Pertanyaan
Buktikan dengan induksi matematika bahwa:
1 + 3 + 9 + ... + 3ⁿ = (3ⁿ⁺¹ − 1) / 2
untuk setiap bilangan asli n ≥ 0.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n genap.
D. Hanya berlaku untuk n ganjil.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 0:
Ruas kiri = 1
Ruas kanan = (3¹ − 1) / 2 = (3 − 1) / 2 = 1
Pernyataan benar.
Langkah induksi
Misalkan benar untuk n = k:
1 + 3 + 9 + ... + 3ᵏ = (3ᵏ⁺¹ − 1) / 2
Untuk n = k + 1:
= (3ᵏ⁺¹ − 1) / 2 + 3ᵏ⁺¹
= (3ᵏ⁺¹ − 1 + 2 × 3ᵏ⁺¹) / 2
= (3 × 3ᵏ⁺¹ − 1) / 2
= (3ᵏ⁺² − 1) / 2
Sesuai dengan rumus yang akan dibuktikan.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan rumus deret geometri menggunakan induksi.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu membuktikan rumus jumlah deret geometri dengan induksi matematika.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
9 menit
Soal Nomor 7
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
6ⁿ − 1 selalu habis dibagi 5
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n > 2.
D. Hanya berlaku untuk n genap.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
6¹ − 1 = 5
Habis dibagi 5.
Langkah induksi
Misalkan:
6ᵏ − 1 habis dibagi 5.
Untuk n = k + 1:
6ᵏ⁺¹ − 1
= 6(6ᵏ − 1) + 5
Karena kedua suku di ruas kanan habis dibagi 5, maka 6ᵏ⁺¹ − 1 juga habis dibagi 5.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan sifat keterbagian dengan induksi.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menggunakan hipotesis induksi untuk membuktikan sifat keterbagian.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
8 menit
Soal Nomor 8
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
7ⁿ − 1 selalu habis dibagi 6
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n ganjil.
D. Hanya berlaku untuk n genap.
E. Tidak dapat dibuktikan.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
7 − 1 = 6
Habis dibagi 6.
Langkah induksi
Misalkan:
7ᵏ − 1 habis dibagi 6.
Untuk n = k + 1:
7ᵏ⁺¹ − 1
= 7(7ᵏ − 1) + 6
Karena kedua suku habis dibagi 6, maka 7ᵏ⁺¹ − 1 juga habis dibagi 6.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan keterbagian menggunakan induksi matematika.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menerapkan langkah induksi secara sistematis.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
8 menit
Soal Nomor 9
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n genap.
D. Hanya berlaku untuk n < 10.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
Ruas kiri = 1² = 1
Ruas kanan = 1(2)(3) / 6 = 1
Pernyataan benar.
Langkah induksi
Misalkan rumus berlaku untuk n = k.
Tambahkan (k + 1)² pada kedua ruas.
Setelah disederhanakan, diperoleh:
(k + 1)(k + 2)(2k + 3) / 6
yang merupakan bentuk rumus untuk n = k + 1.
Dengan demikian, pernyataan terbukti benar.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan rumus jumlah kuadrat menggunakan induksi.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu melakukan pembuktian rumus jumlah kuadrat dengan metode induksi.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sulit
Estimasi Waktu Pengerjaan
10 menit
Soal Nomor 10
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
8ⁿ − 1 selalu habis dibagi 7
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n > 3.
D. Hanya berlaku untuk n genap.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
8 − 1 = 7
Habis dibagi 7.
Langkah induksi
Misalkan:
8ᵏ − 1 habis dibagi 7.
Untuk n = k + 1:
8ᵏ⁺¹ − 1
= 8(8ᵏ − 1) + 7
Karena kedua suku habis dibagi 7, maka pernyataan juga berlaku untuk n = k + 1.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan sifat keterbagian menggunakan induksi.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menerapkan hipotesis induksi secara benar.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
8 menit
Soal Nomor 11
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
4ⁿ + 2 selalu habis dibagi 6
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n genap.
D. Hanya berlaku untuk n > 5.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
4 + 2 = 6
Habis dibagi 6.
Langkah induksi
Misalkan:
4ᵏ + 2 habis dibagi 6.
Untuk n = k + 1:
4ᵏ⁺¹ + 2
= 4(4ᵏ + 2) − 6
Karena kedua suku di ruas kanan habis dibagi 6, maka bentuk tersebut juga habis dibagi 6.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan sifat keterbagian.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menggunakan metode induksi pada soal keterbagian.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
8 menit
Soal Nomor 12
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ − 1
untuk setiap bilangan asli n ≥ 0.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n ganjil.
D. Hanya berlaku untuk n genap.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 0:
1 = 2¹ − 1 = 1
Benar.
Langkah induksi
Misalkan rumus benar untuk n = k.
Tambahkan 2ᵏ⁺¹ pada kedua ruas.
Hasilnya menjadi:
2ᵏ⁺² − 1
yang sesuai dengan rumus untuk n = k + 1.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan rumus deret geometri.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu membuktikan rumus jumlah deret geometri dengan induksi.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
9 menit
Soal Nomor 13
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
9ⁿ − 1 selalu habis dibagi 8
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n genap.
D. Hanya berlaku untuk n > 2.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
9 − 1 = 8
Habis dibagi 8.
Langkah induksi
Misalkan:
9ᵏ − 1 habis dibagi 8.
Untuk n = k + 1:
9(9ᵏ − 1) + 8
Karena kedua suku habis dibagi 8, maka 9ᵏ⁺¹ − 1 juga habis dibagi 8.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan keterbagian menggunakan induksi.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menyusun pembuktian dengan metode induksi.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
8 menit
Soal Nomor 14
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
10ⁿ − 1 selalu habis dibagi 9
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n > 4.
D. Hanya berlaku untuk n ganjil.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
10 − 1 = 9
Habis dibagi 9.
Langkah induksi
Misalkan:
10ᵏ − 1 habis dibagi 9.
Untuk n = k + 1:
10(10ᵏ − 1) + 9
Karena kedua suku habis dibagi 9, maka 10ᵏ⁺¹ − 1 juga habis dibagi 9.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan sifat keterbagian.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menggunakan metode induksi secara tepat.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
8 menit
Soal Nomor 15
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = [n(n + 1) / 2]²
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n < 5.
D. Hanya berlaku untuk n genap.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
1³ = [1(2)/2]² = 1
Pernyataan benar.
Langkah induksi
Misalkan rumus berlaku untuk n = k.
Tambahkan (k + 1)³ pada kedua ruas. Setelah dilakukan penyederhanaan aljabar, diperoleh:
[(k + 1)(k + 2) / 2]²
yang merupakan bentuk rumus untuk n = k + 1.
Dengan demikian, pembuktian selesai dan rumus berlaku untuk semua bilangan asli.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan rumus jumlah kubus menggunakan induksi matematika.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menerapkan langkah basis dan langkah induksi pada pembuktian rumus jumlah kubus.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sulit
Estimasi Waktu Pengerjaan
10 menit
Soal Nomor 16
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
11^n − 1 selalu habis dibagi 10
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n genap.
D. Hanya berlaku untuk n > 2.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
11 − 1 = 10
Habis dibagi 10.
Langkah induksi
Misalkan:
11^k − 1 habis dibagi 10.
Untuk n = k + 1:
11^(k + 1) − 1
= 11(11^k − 1) + 10
Karena kedua suku di ruas kanan habis dibagi 10, maka 11^(k + 1) − 1 juga habis dibagi 10.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan sifat keterbagian menggunakan induksi matematika.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menerapkan hipotesis induksi pada pembuktian keterbagian.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
8 menit
Soal Nomor 17
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3) = n(2n − 1)
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n ganjil.
D. Hanya berlaku untuk n genap.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
Ruas kiri = 1
Ruas kanan = 1(2 − 1) = 1
Benar.
Langkah induksi
Misalkan:
1 + 5 + 9 + ... + (4k − 3) = k(2k − 1)
Tambahkan suku berikutnya, yaitu 4(k + 1) − 3 = 4k + 1.
k(2k − 1) + (4k + 1)
= 2k² + 3k + 1
= (k + 1)(2k + 1)
= (k + 1)[2(k + 1) − 1]
Sesuai dengan bentuk yang akan dibuktikan.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan rumus deret aritmetika menggunakan induksi.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menyusun pembuktian deret aritmetika secara sistematis.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
9 menit
Soal Nomor 18
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
12^n − 3^n selalu habis dibagi 9
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n > 3.
D. Hanya berlaku untuk n genap.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
12 − 3 = 9
Habis dibagi 9.
Langkah induksi
Misalkan:
12^k − 3^k habis dibagi 9.
Untuk n = k + 1:
12^(k + 1) − 3^(k + 1)
= 12(12^k − 3^k) + 9 × 3^k
Kedua suku di ruas kanan merupakan kelipatan 9, sehingga hasilnya juga habis dibagi 9.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan sifat keterbagian menggunakan induksi.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menggunakan hipotesis induksi pada pembuktian bentuk eksponen.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
9 menit
Soal Nomor 19
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
1 + 4 + 7 + ... + (3n − 2) = n(3n − 1) / 2
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n ganjil.
D. Hanya berlaku untuk n genap.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
Ruas kiri = 1
Ruas kanan = 1(3 − 1) / 2 = 1
Benar.
Langkah induksi
Misalkan benar untuk n = k.
Tambahkan suku berikutnya, yaitu 3(k + 1) − 2 = 3k + 1.
Setelah disederhanakan diperoleh:
(k + 1)(3k + 2) / 2
= (k + 1)[3(k + 1) − 1] / 2
Sesuai dengan bentuk rumus yang akan dibuktikan.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan rumus deret aritmetika menggunakan induksi.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menerapkan langkah induksi pada deret aritmetika.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
9 menit
Soal Nomor 20
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
13^n − 1 selalu habis dibagi 12
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n > 2.
D. Hanya berlaku untuk n ganjil.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
13 − 1 = 12
Habis dibagi 12.
Langkah induksi
Misalkan:
13^k − 1 habis dibagi 12.
Untuk n = k + 1:
13^(k + 1) − 1
= 13(13^k − 1) + 12
Karena kedua suku habis dibagi 12, maka 13^(k + 1) − 1 juga habis dibagi 12.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan keterbagian menggunakan induksi matematika.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menerapkan metode induksi pada soal eksponen.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
8 menit
Soal Nomor 21
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
2 + 5 + 8 + ... + (3n − 1) = n(3n + 1) / 2
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n genap.
D. Hanya berlaku untuk n ganjil.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
2 = 1(4) / 2 = 2
Benar.
Langkah induksi
Misalkan benar untuk n = k.
Tambahkan suku berikutnya, yaitu 3k + 2.
Setelah dilakukan penyederhanaan diperoleh:
(k + 1)(3k + 4) / 2
= (k + 1)[3(k + 1) + 1] / 2
Sehingga rumus terbukti benar.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan rumus deret aritmetika.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menerapkan induksi matematika pada pembuktian deret.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
9 menit
Soal Nomor 22
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
14^n − 1 selalu habis dibagi 13
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n > 5.
D. Hanya berlaku untuk n genap.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
14 − 1 = 13
Habis dibagi 13.
Langkah induksi
Misalkan:
14^k − 1 habis dibagi 13.
Untuk n = k + 1:
14^(k + 1) − 1
= 14(14^k − 1) + 13
Kedua suku merupakan kelipatan 13, sehingga hasil akhirnya juga habis dibagi 13.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan keterbagian dengan metode induksi.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menerapkan langkah induksi secara tepat.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
8 menit
Soal Nomor 23
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
1 + 6 + 11 + ... + (5n − 4) = n(5n − 3) / 2
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n ganjil.
D. Hanya berlaku untuk n genap.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
1 = 1(2) / 2 = 1
Benar.
Langkah induksi
Misalkan benar untuk n = k.
Tambahkan suku berikutnya yaitu 5k + 1.
Setelah penyederhanaan diperoleh:
(k + 1)(5k + 2) / 2
= (k + 1)[5(k + 1) − 3] / 2
Sehingga rumus terbukti benar.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan rumus deret aritmetika.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu membuktikan rumus menggunakan induksi matematika.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
9 menit
Soal Nomor 24
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
15^n − 1 selalu habis dibagi 14
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n > 4.
D. Hanya berlaku untuk n ganjil.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
15 − 1 = 14
Habis dibagi 14.
Langkah induksi
Misalkan:
15^k − 1 habis dibagi 14.
Untuk n = k + 1:
15^(k + 1) − 1
= 15(15^k − 1) + 14
Karena kedua suku habis dibagi 14, maka pernyataan juga berlaku untuk n = k + 1.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan sifat keterbagian.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menggunakan hipotesis induksi secara benar.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
8 menit
Soal Nomor 25
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
1 + 7 + 13 + ... + (6n − 5) = n(3n − 2)
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n genap.
D. Hanya berlaku untuk n ganjil.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
1 = 1(3 − 2) = 1
Benar.
Langkah induksi
Misalkan benar untuk n = k.
Tambahkan suku berikutnya yaitu 6k + 1.
Setelah dilakukan penyederhanaan diperoleh:
(k + 1)(3k + 1)
= (k + 1)[3(k + 1) − 2]
Sesuai dengan bentuk rumus yang akan dibuktikan.
Dengan demikian, pernyataan terbukti benar untuk semua bilangan asli.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan rumus deret menggunakan induksi matematika.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menerapkan langkah basis dan langkah induksi secara sistematis.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
9 menit
Soal Nomor 26
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
16^n − 1 selalu habis dibagi 15
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n > 3.
D. Hanya berlaku untuk n genap.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
16 − 1 = 15
Habis dibagi 15.
Langkah induksi
Misalkan:
16^k − 1 habis dibagi 15.
Untuk n = k + 1:
16^(k + 1) − 1
= 16(16^k − 1) + 15
Karena kedua suku di ruas kanan habis dibagi 15, maka 16^(k + 1) − 1 juga habis dibagi 15.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan sifat keterbagian menggunakan induksi matematika.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menerapkan hipotesis induksi pada pembuktian keterbagian.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
8 menit
Soal Nomor 27
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
1 + 8 + 15 + ... + (7n − 6) = n(7n − 5) / 2
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n ganjil.
D. Hanya berlaku untuk n genap.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
Ruas kiri = 1
Ruas kanan = 1(7 − 5) / 2 = 1
Pernyataan benar.
Langkah induksi
Misalkan:
1 + 8 + 15 + ... + (7k − 6) = k(7k − 5) / 2
Tambahkan suku berikutnya, yaitu 7(k + 1) − 6 = 7k + 1.
Setelah disederhanakan diperoleh:
(k + 1)(7k + 2) / 2
= (k + 1)[7(k + 1) − 5] / 2
Sesuai dengan bentuk yang akan dibuktikan.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan rumus deret aritmetika menggunakan induksi.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu membuktikan rumus jumlah deret secara sistematis.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
9 menit
Soal Nomor 28
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
17^n − 1 selalu habis dibagi 16
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n > 2.
D. Hanya berlaku untuk n ganjil.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
17 − 1 = 16
Habis dibagi 16.
Langkah induksi
Misalkan:
17^k − 1 habis dibagi 16.
Untuk n = k + 1:
17^(k + 1) − 1
= 17(17^k − 1) + 16
Karena kedua suku merupakan kelipatan 16, maka hasilnya juga habis dibagi 16.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan sifat keterbagian menggunakan induksi.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menggunakan hipotesis induksi dalam pembuktian.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
8 menit
Soal Nomor 29
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
1 + 9 + 17 + ... + (8n − 7) = n(4n − 3)
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n genap.
D. Hanya berlaku untuk n ganjil.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
Ruas kiri = 1
Ruas kanan = 1(4 − 3) = 1
Benar.
Langkah induksi
Misalkan:
1 + 9 + 17 + ... + (8k − 7) = k(4k − 3)
Tambahkan suku berikutnya, yaitu 8(k + 1) − 7 = 8k + 1.
k(4k − 3) + (8k + 1)
= 4k² + 5k + 1
= (k + 1)(4k + 1)
= (k + 1)[4(k + 1) − 3]
Sesuai dengan bentuk yang akan dibuktikan.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan rumus deret aritmetika menggunakan induksi.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menerapkan langkah induksi secara tepat pada pembuktian deret.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
9 menit
Soal Nomor 30
Pertanyaan
Buktikan bahwa:
18^n − 1 selalu habis dibagi 17
untuk setiap bilangan asli n.
Pilihan Jawaban
A. Benar.
B. Salah.
C. Hanya berlaku untuk n > 5.
D. Hanya berlaku untuk n genap.
E. Tidak berlaku.
Jawaban Benar
A. Benar.
Pembahasan Lengkap
Basis induksi
Untuk n = 1:
18 − 1 = 17
Habis dibagi 17.
Langkah induksi
Misalkan:
18^k − 1 habis dibagi 17.
Untuk n = k + 1:
18^(k + 1) − 1
= 18(18^k − 1) + 17
Karena kedua suku di ruas kanan habis dibagi 17, maka 18^(k + 1) − 1 juga habis dibagi 17.
Dengan demikian, pernyataan terbukti benar untuk semua bilangan asli.
Kompetensi yang Diukur
Membuktikan sifat keterbagian menggunakan induksi matematika.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menerapkan metode induksi matematika pada pembuktian sifat keterbagian.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 (Menganalisis)
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
8 menit
Kesimpulan
Induksi matematika merupakan salah satu metode pembuktian yang sangat penting dalam pembelajaran matematika tingkat SMA. Melalui metode ini, suatu pernyataan dapat dibuktikan kebenarannya untuk semua bilangan asli dengan dua tahap utama, yaitu basis induksi dan langkah induksi. Penguasaan kedua tahapan tersebut akan membantu siswa memahami konsep pembuktian secara logis, sistematis, dan runtut.
Kumpulan contoh soal induksi matematika lengkap dengan jawaban dan pembahasan di atas dapat dijadikan bahan latihan untuk menghadapi ulangan harian, PAS, PAT, maupun UTBK. Semakin sering berlatih menyelesaikan berbagai variasi soal induksi matematika, semakin terampil pula siswa dalam menyusun pembuktian serta menganalisis pola-pola matematika yang lebih kompleks.
